გადაწყვიტეთ ∫ x/2sqrt{x wrt x

$$\int \frac { x } { 2 \sqrt { x } } d x$$

შეფასება

$$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

ამონახსნის ეტაპები

აღრიცხეთ ყველა გამოსახულება, რომლიც ჯერ არ არის აღრიცხული \frac{x}{2\sqrt{x}}-ში.

$$\int \frac{x}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

გააბათილეთ \sqrt{x} როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

$$\int \frac{\sqrt{x}}{2}\mathrm{d}x$$

ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ მუდმივა \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x-ის მეშვეობით.

$$\frac{\int \sqrt{x}\mathrm{d}x}{2}$$

ხელახლა დაწერეთ \sqrt{x}, როგორც x^{\frac{1}{2}}. რადგან\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} წარმოადგენს k\neq -1-ს, \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x უნდა ჩაანაცვლოთ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-ით. გაამარტივეთ.

$$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

თუF\left(x\right) წარმოადგენს f\left(x\right)-ის ანტიდერივატივს, მაშინ f\left(x\right)-ის ყველა ანტიდერივატივის მწკრივი მიღებულია F\left(x\right)+C-ით. მაშასადამე, მიღებულ შედეგს უნდა დაამატოთ ინტეგრაციის მუდმივა C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}+С$$

დიფერენცირება x-ის მიმართ

$$\frac{\sqrt{x}}{2}$$