გადაწყვიტეთ 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2.375+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2.375-1.452368755i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

წილადი \frac{-2}{3} შეიძლება ჩაიწეროს როგორც -\frac{2}{3} უარყოფითი ნიშნის მოცილებით.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

გადაამრავლეთ \frac{1}{6} და -\frac{2}{3}, რათა მიიღოთ -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -\frac{1}{9} 4x+5-ზე.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} 2x+7-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

გამოაკელით 3 -\frac{35}{9}-ს -\frac{62}{9}-ის მისაღებად.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -\frac{8}{9}-ით a, -\frac{38}{9}-ით b და -\frac{62}{9}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{38}{9} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

გაამრავლეთ \frac{32}{9}-ზე -\frac{62}{9} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

მიუმატეთ \frac{1444}{81} -\frac{1984}{81}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

აიღეთ -\frac{20}{3}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{38}{9}-ის საპირისპიროა \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{38}{9} \frac{2i\sqrt{15}}{3}-ს.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

გაყავით \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3} -\frac{16}{9}-ზე \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3}-ის გამრავლებით -\frac{16}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{2i\sqrt{15}}{3} \frac{38}{9}-ს.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

გაყავით \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3} -\frac{16}{9}-ზე \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3}-ის გამრავლებით -\frac{16}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

წილადი \frac{-2}{3} შეიძლება ჩაიწეროს როგორც -\frac{2}{3} უარყოფითი ნიშნის მოცილებით.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

გადაამრავლეთ \frac{1}{6} და -\frac{2}{3}, რათა მიიღოთ -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -\frac{1}{9} 4x+5-ზე.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} 2x+7-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

დაამატეთ \frac{35}{9} ორივე მხარეს.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

შეკრიბეთ 3 და \frac{35}{9}, რათა მიიღოთ \frac{62}{9}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{8}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{8}{9}-ზე გაყოფა აუქმებს -\frac{8}{9}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

გაყავით -\frac{38}{9} -\frac{8}{9}-ზე -\frac{38}{9}-ის გამრავლებით -\frac{8}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

გაყავით \frac{62}{9} -\frac{8}{9}-ზე \frac{62}{9}-ის გამრავლებით -\frac{8}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

გაყავით \frac{19}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{19}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{19}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{19}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{31}{4} \frac{361}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

გამოაკელით \frac{19}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$