გადაწყვიტეთ -1/x-1+1/x+1=2/x+2

$$\frac{ -1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ x+1 } = \frac{ 2 }{ x+2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x-1,x+1,x+2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+3x+2 -1-ზე.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოაკელით 2 -2-ს -4-ის მისაღებად.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}-1 2-ზე.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

გამოაკელით 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$-2x-4-2x^{2}+2=0$$

შეკრიბეთ -4 და 2, რათა მიიღოთ -2.

$$-2x-2-2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}-2x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, -2-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 4 -16-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ -12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2i\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-4}$$

გაყავით 2+2i\sqrt{3} -4-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{3} 2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{-4}$$

გაყავით 2-2i\sqrt{3} -4-ზე.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x-1,x+1,x+2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+3x+2 -1-ზე.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

დააჯგუფეთ -3x და x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოაკელით 2 -2-ს -4-ის მისაღებად.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}-1 2-ზე.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

გამოაკელით 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$-2x-2x^{2}=-2+4$$

შეკრიბეთ -2 და 4, რათა მიიღოთ 2.

$$-2x-2x^{2}=2$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=\frac{2}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=\frac{2}{-2}$$

გაყავით -2 -2-ზე.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$x^{2}+x=-1$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -1 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$