გადაწყვიტეთ x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=1$$

$$x=-2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2x\left(x+1\right)-ზე, x,x+1,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x+2 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5x x+1-ზე.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

გამოაკელით 5x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

დააჯგუფეთ 4x და -5x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=1 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-x+2, როგორც \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+1=0 და x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2x\left(x+1\right)-ზე, x,x+1,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x+2 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5x x+1-ზე.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

გამოაკელით 5x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

დააჯგუფეთ 4x და -5x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -1-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 8-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±3}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 3-ს.

$$x=\frac{4}{-2}$$

გაყავით 4 -2-ზე.

$$x=-2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±3}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 1-ს.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

გაყავით -2 -2-ზე.

$$x=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2 x=1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2x\left(x+1\right)-ზე, x,x+1,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x+2 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5x x+1-ზე.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

გამოაკელით 5x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და -5x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

გამოაკელით 5x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

დააჯგუფეთ 4x და -5x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-x^{2}-x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

გაყავით -1 -1-ზე.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

გაყავით -2 -1-ზე.

$$x^{2}+x=2$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 2 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-2$$