გადაწყვიტეთ frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}}

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

შეფასება

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1.616244071$$

მოკლე ამონახსნის მიღების ეტაპები

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 4-\sqrt{2}-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

განვიხილოთ \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4. აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

გამოაკელით 2 16-ს 14-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

გადაამრავლეთ 4-\sqrt{2} და 4-\sqrt{2}, რათა მიიღოთ \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

შეკრიბეთ 16 და 2, რათა მიიღოთ 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 4+\sqrt{2}-ზე გამრავლებით.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

განვიხილოთ \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4. აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

გამოაკელით 2 16-ს 14-ის მისაღებად.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

გადაამრავლეთ 4+\sqrt{2} და 4+\sqrt{2}, რათა მიიღოთ \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

შეკრიბეთ 16 და 2, რათა მიიღოთ 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

რადგან \frac{18-8\sqrt{2}}{14}-სა და \frac{18+8\sqrt{2}}{14}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, გამოაკელით მათი მრიცხველები.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

შეასრულეთ გამრავლება 18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)-ში.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

შეასრულეთ გამოთვლები 18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}-ში.

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

გაყავით -16\sqrt{2} 14-ზე -\frac{8}{7}\sqrt{2}-ის მისაღებად.

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$