გადაწყვიტეთ 4/x-5/x+1=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 5 } { x + 1 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1.236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3.236067977$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+1\right)-ზე, x,x+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+1-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

გადაამრავლეთ -1 და 5, რათა მიიღოთ -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

დააჯგუფეთ 3x და -5x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -2-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 4 16-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 20-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

გაყავით 2+2\sqrt{5} -2-ზე.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{5} 2-ს.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

გაყავით 2-2\sqrt{5} -2-ზე.

$$x=\sqrt{5}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+1\right)-ზე, x,x+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+1-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

გადაამრავლეთ -1 და 5, რათა მიიღოთ -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

დააჯგუფეთ 3x და -5x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

გაყავით -2 -1-ზე.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

გაყავით -4 -1-ზე.

$$x^{2}+2x=4$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

მიუმატეთ 4 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=5$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1.236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3.236067977$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+1\right)-ზე, x,x+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+1-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

გადაამრავლეთ -1 და 5, რათა მიიღოთ -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

დააჯგუფეთ 3x და -5x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -2-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 4 16-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 20-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

გაყავით 2+2\sqrt{5} -2-ზე.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{5} 2-ს.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

გაყავით 2-2\sqrt{5} -2-ზე.

$$x=\sqrt{5}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+1\right)-ზე, x,x+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+1-ზე.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 4x და -x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

გადაამრავლეთ -1 და 5, რათა მიიღოთ -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

დააჯგუფეთ 3x და -5x, რათა მიიღოთ -2x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

გაყავით -2 -1-ზე.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

გაყავით -4 -1-ზე.

$$x^{2}+2x=4$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

მიუმატეთ 4 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=5$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$