გადაწყვიტეთ 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=12$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -6,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+6\right)-ზე, x,x+6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+6 2-ზე.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

დააჯგუფეთ 2x და x\times 15, რათა მიიღოთ 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+6-ზე.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

დააჯგუფეთ 17x და -6x, რათა მიიღოთ 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+12. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=12 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+11x+12, როგორც \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

-x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-12 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-12=0 და -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -6,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+6\right)-ზე, x,x+6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+6 2-ზე.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

დააჯგუფეთ 2x და x\times 15, რათა მიიღოთ 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+6-ზე.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

დააჯგუფეთ 17x და -6x, რათა მიიღოთ 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 11-ით b და 12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 121 48-ს.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 169-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±13}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 13-ს.

$$x=\frac{2}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±13}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 13 -11-ს.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

გაყავით -24 -2-ზე.

$$x=12$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=12$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -6,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+6\right)-ზე, x,x+6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+6 2-ზე.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

დააჯგუფეთ 2x და x\times 15, რათა მიიღოთ 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+6-ზე.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

გამოაკელით 6x ორივე მხარეს.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

დააჯგუფეთ 17x და -6x, რათა მიიღოთ 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

გამოაკელით 12 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$11x-x^{2}=-12$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

გაყავით 11 -1-ზე.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

გაყავით -12 -1-ზე.

$$x^{2}-11x=12$$

გაყავით -11, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

მიუმატეთ 12 \frac{121}{4}-ს.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-11x+\frac{121}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=12 x=-1$$