გადაწყვიტეთ 1/x+2+x/x-2=x/x^2-4

$$\frac { 1 } { x + 2 } + \frac { x } { x - 2 } = \frac { x } { x ^ { 2 } - 4 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{3}-1\approx 0.732050808$$

$$x=-\left(\sqrt{3}+1\right)\approx -2.732050808$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=x$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3x-2+x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 3x და -x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x-2+x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+2x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 2-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2}$$

მიუმატეთ 4 8-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{12}}{2}$$

აიღეთ 12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}$$

გაყავით -2+2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=\sqrt{3}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{3} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-2}{2}$$

გაყავით -2-2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{3}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=x$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3x-2+x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 3x და -x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x-2+x^{2}=0$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2x+x^{2}=2$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=2$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=2+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=2+1$$

მიუმატეთ 2 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=3$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=3$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{3} x+1=-\sqrt{3}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{3}-1\approx 0.732050808$$

$$x=-\sqrt{3}-1\approx -2.732050808$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=x$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3x-2+x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 3x და -x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x-2+x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+2x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 2-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2}$$

მიუმატეთ 4 8-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{12}}{2}$$

აიღეთ 12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-2}{2}$$

გაყავით -2+2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=\sqrt{3}-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{3} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-2}{2}$$

გაყავით -2-2\sqrt{3} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{3}-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=x$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=x$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$3x-2+x^{2}-x=0$$

დააჯგუფეთ 3x და -x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x-2+x^{2}=0$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$2x+x^{2}=2$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=2$$

გაყავით 2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+2x+1^{2}=2+1^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x^{2}+2x+1=2+1$$

მიუმატეთ 2 1-ს.

$$x^{2}+2x+1=3$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=3$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

გაამარტივეთ.

$$x+1=\sqrt{3} x+1=-\sqrt{3}$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{3}-1 x=-\sqrt{3}-1$$