გადაწყვიტეთ 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0.133333333$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,\frac{1}{3} არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}-ზე, 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x-1 16-ზე.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 5x და 48x, რათა მიიღოთ 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოაკელით 16 10-ს -6-ის მისაღებად.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+2-ზე.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 5x+10 3x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

გამოაკელით 15x^{2} ორივე მხარეს.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

გამოაკელით 25x ორივე მხარეს.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

დააჯგუფეთ 53x და -25x, რათა მიიღოთ 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

დაამატეთ 10 ორივე მხარეს.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

შეკრიბეთ -6 და 10, რათა მიიღოთ 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -15x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 28.

$$a=30 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ -15x^{2}+28x+4, როგორც \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

15x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+2=0 და 15x+2=0.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,\frac{1}{3} არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}-ზე, 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x-1 16-ზე.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 5x და 48x, რათა მიიღოთ 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოაკელით 16 10-ს -6-ის მისაღებად.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+2-ზე.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 5x+10 3x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

გამოაკელით 15x^{2} ორივე მხარეს.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

გამოაკელით 25x ორივე მხარეს.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

დააჯგუფეთ 53x და -25x, რათა მიიღოთ 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

დაამატეთ 10 ორივე მხარეს.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

შეკრიბეთ -6 და 10, რათა მიიღოთ 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -15-ით a, 28-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

გაამრავლეთ 60-ზე 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

მიუმატეთ 784 240-ს.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

აიღეთ 1024-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-28±32}{-30} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -28 32-ს.

$$x=\frac{4}{-30}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{-30} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{15}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-28±32}{-30} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 32 -28-ს.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

გაყავით -60 -30-ზე.

$$x=2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,\frac{1}{3} არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}-ზე, 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x-1 16-ზე.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 5x და 48x, რათა მიიღოთ 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოაკელით 16 10-ს -6-ის მისაღებად.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 5 x+2-ზე.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 5x+10 3x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

გამოაკელით 15x^{2} ორივე მხარეს.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

გამოაკელით 25x ორივე მხარეს.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

დააჯგუფეთ 53x და -25x, რათა მიიღოთ 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

დაამატეთ 6 ორივე მხარეს.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

შეკრიბეთ -10 და 6, რათა მიიღოთ -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

-15-ზე გაყოფა აუქმებს -15-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

გაყავით 28 -15-ზე.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

გაყავით -4 -15-ზე.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

გაყავით -\frac{28}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{14}{15}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{14}{15}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{14}{15} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

მიუმატეთ \frac{4}{15} \frac{196}{225}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

მიუმატეთ \frac{14}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$