გადაწყვიტეთ frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

ამოხსნა b-ისთვის

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის \sqrt{3}-1-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

განვიხილოთ \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{3}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

გამოაკელით 1 3-ს 2-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

გადაამრავლეთ \sqrt{3}-1 და \sqrt{3}-1, რათა მიიღოთ \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

შეკრიბეთ 3 და 1, რათა მიიღოთ 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

გაყავით 4-2\sqrt{3}-ის წევრი 2-ზე 2-\sqrt{3}-ის მისაღებად.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

გამოაკელით a ორივე მხარეს.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

ორივე მხარე გაყავით \sqrt{3}-ზე.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

\sqrt{3}-ზე გაყოფა აუქმებს \sqrt{3}-ზე გამრავლებას.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

გაყავით -\sqrt{3}-a+2 \sqrt{3}-ზე.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

ამოხსნა a-ისთვის

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$