x^2-14x+45=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$x ^ { 2 } - 14 x + 45 = 0$$

x を解く

$$x=5$$

$$x=9$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) を使用して x^{2}-14x+45 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-14 ab=45$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 45 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

解は和が -14 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=-5$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(x+a\right)\left(x+b\right) を書き換えます。

$$\left(x-9\right)\left(x-5\right)$$

方程式の解を求めるには、x-9=0 と x-5=0 を解きます。

$$x=9 x=5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を x^{2}+ax+bx+45 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-14 ab=1\times 45=45$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 45 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

解は和が -14 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=-5$$

x^{2}-14x+45 を \left(x^{2}-9x\right)+\left(-5x+45\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-5x+45\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの -5 をくくり出します。

$$x\left(x-9\right)-5\left(x-9\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-9 を除外します。

$$\left(x-9\right)\left(x-5\right)$$

方程式の解を求めるには、x-9=0 と x-5=0 を解きます。

$$x=9 x=5$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$x^{2}-14x+45=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に -14 を代入し、c に 45 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 45}}{2}$$

-14 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 45}}{2}$$

-4 と 45 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2}$$

196 を -180 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2}$$

16 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2}$$

-14 の反数は 14 です。

$$x=\frac{14±4}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{14±4}{2} の解を求めます。 14 を 4 に加算します。

$$x=\frac{18}{2}$$

18 を 2 で除算します。

$$x=9$$

± が負の時の方程式 x=\frac{14±4}{2} の解を求めます。 14 から 4 を減算します。

$$x=\frac{10}{2}$$

10 を 2 で除算します。

$$x=5$$

方程式が解けました。

$$x=9 x=5$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$x^{2}-14x+45=0$$

方程式の両辺から 45 を減算します。

$$x^{2}-14x+45-45=-45$$

それ自体から 45 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}-14x=-45$$

-14 (x 項の係数) を 2 で除算して -7 を求めます。次に、方程式の両辺に -7 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-45+\left(-7\right)^{2}$$

-7 を 2 乗します。

$$x^{2}-14x+49=-45+49$$

-45 を 49 に加算します。

$$x^{2}-14x+49=4$$

因数x^{2}-14x+49。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-7\right)^{2}=4$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

簡約化します。

$$x-7=2 x-7=-2$$

方程式の両辺に 7 を加算します。

$$x=9 x=5$$