x^2+31x-360=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

x を解く

$$x=-40$$

$$x=9$$

因数分解を使用する手順

方程式を解くには、公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) を使用して x^{2}+31x-360 を因数分解します。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=31 ab=-360$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -360 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

解は和が 31 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=40$$

求めた値を使用して、因数分解された式 \left(x+a\right)\left(x+b\right) を書き換えます。

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

方程式の解を求めるには、x-9=0 と x+40=0 を解きます。

$$x=9 x=-40$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を x^{2}+ax+bx-360 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -360 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

解は和が 31 になる組み合わせです。

$$a=-9 b=40$$

x^{2}+31x-360 を \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right) に書き換えます。

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 40 をくくり出します。

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-9 を除外します。

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

方程式の解を求めるには、x-9=0 と x+40=0 を解きます。

$$x=9 x=-40$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$x^{2}+31x-360=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 1 を代入し、b に 31 を代入し、c に -360 を代入します。

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

31 を 2 乗します。

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

-4 と -360 を乗算します。

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

961 を 1440 に加算します。

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

2401 の平方根をとります。

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-31±49}{2} の解を求めます。 -31 を 49 に加算します。

$$x=\frac{18}{2}$$

18 を 2 で除算します。

$$x=9$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-31±49}{2} の解を求めます。 -31 から 49 を減算します。

$$x=-\frac{80}{2}$$

-80 を 2 で除算します。

$$x=-40$$

方程式が解けました。

$$x=9 x=-40$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$x^{2}+31x-360=0$$

方程式の両辺に 360 を加算します。

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

それ自体から -360 を減算すると 0 のままです。

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

0 から -360 を減算します。

$$x^{2}+31x=360$$

31 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{31}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{31}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

\frac{31}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

360 を \frac{961}{4} に加算します。

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

因数x^{2}+31x+\frac{961}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

方程式の両辺から \frac{31}{2} を減算します。

$$x=9 x=-40$$