9n^2-33n-1456=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

n を解く

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14.683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11.017304351$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 9 を代入し、b に -33 を代入し、c に -1456 を代入します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

-33 を 2 乗します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

-4 と 9 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

-36 と -1456 を乗算します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

1089 を 52416 に加算します。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

53505 の平方根をとります。

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

-33 の反数は 33 です。

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

2 と 9 を乗算します。

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} の解を求めます。 33 を 3\sqrt{5945} に加算します。

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

33+3\sqrt{5945} を 18 で除算します。

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

± が負の時の方程式 n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} の解を求めます。 33 から 3\sqrt{5945} を減算します。

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

33-3\sqrt{5945} を 18 で除算します。

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

方程式が解けました。

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

方程式の両辺に 1456 を加算します。

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

それ自体から -1456 を減算すると 0 のままです。

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

0 から -1456 を減算します。

$$9n^{2}-33n=1456$$

両辺を 9 で除算します。

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

9 で除算すると、9 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

3 を開いて消去して、分数 \frac{-33}{9} を約分します。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

-\frac{11}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して -\frac{11}{6} を求めます。次に、方程式の両辺に -\frac{11}{6} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{1456}{9} を \frac{121}{36} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

因数n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

簡約化します。

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

方程式の両辺に \frac{11}{6} を加算します。

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$