7x^2+5x-78=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

x を解く

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3.714285714$$

$$x=3$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 7x^{2}+ax+bx-78 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -546 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

解は和が 5 になる組み合わせです。

$$a=-21 b=26$$

7x^{2}+5x-78 を \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right) に書き換えます。

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

1 番目のグループの 7x と 2 番目のグループの 26 をくくり出します。

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

分配特性を使用して一般項 x-3 を除外します。

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

方程式の解を求めるには、x-3=0 と 7x+26=0 を解きます。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$7x^{2}+5x-78=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 7 を代入し、b に 5 を代入し、c に -78 を代入します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

5 を 2 乗します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

-4 と 7 を乗算します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

-28 と -78 を乗算します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

25 を 2184 に加算します。

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

2209 の平方根をとります。

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

2 と 7 を乗算します。

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-5±47}{14} の解を求めます。 -5 を 47 に加算します。

$$x=\frac{42}{14}$$

42 を 14 で除算します。

$$x=3$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-5±47}{14} の解を求めます。 -5 から 47 を減算します。

$$x=-\frac{52}{14}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{-52}{14} を約分します。

$$x=-\frac{26}{7}$$

方程式が解けました。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$7x^{2}+5x-78=0$$

方程式の両辺に 78 を加算します。

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

それ自体から -78 を減算すると 0 のままです。

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

0 から -78 を減算します。

$$7x^{2}+5x=78$$

両辺を 7 で除算します。

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

7 で除算すると、7 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

\frac{5}{7} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{5}{14} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{5}{14} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

\frac{5}{14} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

公分母を求めて分子を加算すると、\frac{78}{7} を \frac{25}{196} に加算します。次に、可能であれば分数を約分します。

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

因数x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

方程式の両辺から \frac{5}{14} を減算します。

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$