4x^2-8x-5=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

x を解く

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 4x^{2}+ax+bx-5 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は負の値なので、負の数の方が正の数よりも絶対値が大きいです。 積が -20 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

各組み合わせの和を計算します。

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

解は和が -8 になる組み合わせです。

$$a=-10 b=2$$

4x^{2}-8x-5 を \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right) に書き換えます。

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

2x の 4x^{2}-10x を除外します。

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

分配特性を使用して一般項 2x-5 を除外します。

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

方程式の解を求めるには、2x-5=0 と 2x+1=0 を解きます。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$4x^{2}-8x-5=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 4 を代入し、b に -8 を代入し、c に -5 を代入します。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-8 を 2 乗します。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-4 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-16 と -5 を乗算します。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

64 を 80 に加算します。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

144 の平方根をとります。

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

-8 の反数は 8 です。

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

2 と 4 を乗算します。

$$x=\frac{8±12}{8}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{8±12}{8} の解を求めます。 8 を 12 に加算します。

$$x=\frac{20}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{20}{8} を約分します。

$$x=\frac{5}{2}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{8±12}{8} の解を求めます。 8 から 12 を減算します。

$$x=-\frac{4}{8}$$

4 を開いて消去して、分数 \frac{-4}{8} を約分します。

$$x=-\frac{1}{2}$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$4x^{2}-8x-5=0$$

方程式の両辺に 5 を加算します。

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

それ自体から -5 を減算すると 0 のままです。

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

0 から -5 を減算します。

$$4x^{2}-8x=5$$

両辺を 4 で除算します。

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

4 で除算すると、4 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

-8 を 4 で除算します。

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

-2 (x 項の係数) を 2 で除算して -1 を求めます。次に、方程式の両辺に -1 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

\frac{5}{4} を 1 に加算します。

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

因数x^{2}-2x+1。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

簡約化します。

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

方程式の両辺に 1 を加算します。

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$