3x^2+16x-12=0 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

x を解く

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

グループ化による因数分解を使用する手順

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を 3x^{2}+ax+bx-12 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -36 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

解は和が 16 になる組み合わせです。

$$a=-2 b=18$$

3x^{2}+16x-12 を \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right) に書き換えます。

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

1 番目のグループの x と 2 番目のグループの 6 をくくり出します。

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

分配特性を使用して一般項 3x-2 を除外します。

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

方程式の解を求めるには、3x-2=0 と x+6=0 を解きます。

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3x^{2}+16x-12=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に 16 を代入し、c に -12 を代入します。

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

16 を 2 乗します。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -12 を乗算します。

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

256 を 144 に加算します。

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

400 の平方根をとります。

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-16±20}{6} の解を求めます。 -16 を 20 に加算します。

$$x=\frac{4}{6}$$

2 を開いて消去して、分数 \frac{4}{6} を約分します。

$$x=\frac{2}{3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-16±20}{6} の解を求めます。 -16 から 20 を減算します。

$$x=-\frac{36}{6}$$

-36 を 6 で除算します。

$$x=-6$$

方程式が解けました。

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3x^{2}+16x-12=0$$

方程式の両辺に 12 を加算します。

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

それ自体から -12 を減算すると 0 のままです。

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

0 から -12 を減算します。

$$3x^{2}+16x=12$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

12 を 3 で除算します。

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

\frac{16}{3} (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{8}{3} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{8}{3} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

\frac{8}{3} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

4 を \frac{64}{9} に加算します。

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

因数x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

簡約化します。

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

方程式の両辺から \frac{8}{3} を減算します。

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$