3r^2-24r=-45 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

r を解く

$$r=3$$

$$r=5$$

グループ化による因数分解を使用する手順

45 を両辺に追加します。

$$3r^{2}-24r+45=0$$

両辺を 3 で除算します。

$$r^{2}-8r+15=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を r^{2}+ar+br+15 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

ab は正の値なので、a と b の符号は同じです。 a+b は負の値なので、a と b はどちらも負の値です。 積が 15 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,-15 -3,-5$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

解は和が -8 になる組み合わせです。

$$a=-5 b=-3$$

r^{2}-8r+15 を \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right) に書き換えます。

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

1 番目のグループの r と 2 番目のグループの -3 をくくり出します。

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

分配特性を使用して一般項 r-5 を除外します。

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

方程式の解を求めるには、r-5=0 と r-3=0 を解きます。

$$r=5 r=3$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3r^{2}-24r=-45$$

方程式の両辺に 45 を加算します。

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

それ自体から -45 を減算すると 0 のままです。

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

0 から -45 を減算します。

$$3r^{2}-24r+45=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に -24 を代入し、c に 45 を代入します。

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-24 を 2 乗します。

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

-12 と 45 を乗算します。

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

576 を -540 に加算します。

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

36 の平方根をとります。

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

-24 の反数は 24 です。

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$r=\frac{24±6}{6}$$

± が正の時の方程式 r=\frac{24±6}{6} の解を求めます。 24 を 6 に加算します。

$$r=\frac{30}{6}$$

30 を 6 で除算します。

$$r=5$$

± が負の時の方程式 r=\frac{24±6}{6} の解を求めます。 24 から 6 を減算します。

$$r=\frac{18}{6}$$

18 を 6 で除算します。

$$r=3$$

方程式が解けました。

$$r=5 r=3$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3r^{2}-24r=-45$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

-24 を 3 で除算します。

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

-45 を 3 で除算します。

$$r^{2}-8r=-15$$

-8 (x 項の係数) を 2 で除算して -4 を求めます。次に、方程式の両辺に -4 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

-4 を 2 乗します。

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

-15 を 16 に加算します。

$$r^{2}-8r+16=1$$

因数r^{2}-8r+16。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

簡約化します。

$$r-4=1 r-4=-1$$

方程式の両辺に 4 を加算します。

$$r=5 r=3$$