3n^2+3n+1=1141 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

n を解く

$$n=-20$$

$$n=19$$

グループ化による因数分解を使用する手順

両辺から 1141 を減算します。

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1 から 1141 を減算して -1140 を求めます。

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

両辺を 3 で除算します。

$$n^{2}+n-380=0$$

方程式を解くには、左側をグループ化してください。最初に、左側を n^{2}+an+bn-380 に書き換える必要があります。 a と b を検索するには、解決するシステムをセットアップします。

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

ab は負の値なので、a と b の符号は逆になります。 a+b は正の値なので、正の数の方が負の数よりも絶対値が大きいです。 積が -380 になる整数の組み合わせをすべて一覧表示します。

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

各組み合わせの和を計算します。

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

解は和が 1 になる組み合わせです。

$$a=-19 b=20$$

n^{2}+n-380 を \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right) に書き換えます。

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

1 番目のグループの n と 2 番目のグループの 20 をくくり出します。

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

分配特性を使用して一般項 n-19 を除外します。

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

方程式の解を求めるには、n-19=0 と n+20=0 を解きます。

$$n=19 n=-20$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

方程式の両辺から 1141 を減算します。

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

それ自体から 1141 を減算すると 0 のままです。

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1 から 1141 を減算します。

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3 を代入し、b に 3 を代入し、c に -1140 を代入します。

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3 を 2 乗します。

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-4 と 3 を乗算します。

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-12 と -1140 を乗算します。

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

9 を 13680 に加算します。

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

13689 の平方根をとります。

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

2 と 3 を乗算します。

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

± が正の時の方程式 n=\frac{-3±117}{6} の解を求めます。 -3 を 117 に加算します。

$$n=\frac{114}{6}$$

114 を 6 で除算します。

$$n=19$$

± が負の時の方程式 n=\frac{-3±117}{6} の解を求めます。 -3 から 117 を減算します。

$$n=-\frac{120}{6}$$

-120 を 6 で除算します。

$$n=-20$$

方程式が解けました。

$$n=19 n=-20$$

完全平方にする手順

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

方程式の両辺から 1 を減算します。

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

それ自体から 1 を減算すると 0 のままです。

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

1141 から 1 を減算します。

$$3n^{2}+3n=1140$$

両辺を 3 で除算します。

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3 で除算すると、3 での乗算を元に戻します。

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3 を 3 で除算します。

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

1140 を 3 で除算します。

$$n^{2}+n=380$$

1 (x 項の係数) を 2 で除算して \frac{1}{2} を求めます。次に、方程式の両辺に \frac{1}{2} の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} を 2 乗するには、分数の分子と分母の両方を 2 乗します。

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

380 を \frac{1}{4} に加算します。

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

因数n^{2}+n+\frac{1}{4}。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

簡約化します。

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

方程式の両辺から \frac{1}{2} を減算します。

$$n=19 n=-20$$