(40-4t)^2+(30-3t)^2=30 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$( 40 - 4 t ) ^ { 2 } + ( 30 - 3 t ) ^ { 2 } = 30$$

t を解く

$$t=\frac{\sqrt{30}}{5}+10\approx 11.095445115$$

$$t=-\frac{\sqrt{30}}{5}+10\approx 8.904554885$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(40-4t\right)^{2} を展開します。

$$1600-320t+16t^{2}+\left(30-3t\right)^{2}=30$$

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(30-3t\right)^{2} を展開します。

$$1600-320t+16t^{2}+900-180t+9t^{2}=30$$

1600 と 900 を加算して 2500 を求めます。

$$2500-320t+16t^{2}-180t+9t^{2}=30$$

-320t と -180t をまとめて -500t を求めます。

$$2500-500t+16t^{2}+9t^{2}=30$$

16t^{2} と 9t^{2} をまとめて 25t^{2} を求めます。

$$2500-500t+25t^{2}=30$$

両辺から 30 を減算します。

$$2500-500t+25t^{2}-30=0$$

2500 から 30 を減算して 2470 を求めます。

$$2470-500t+25t^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$25t^{2}-500t+2470=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 25 を代入し、b に -500 を代入し、c に 2470 を代入します。

$$t=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{\left(-500\right)^{2}-4\times 25\times 2470}}{2\times 25}$$

-500 を 2 乗します。

$$t=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{250000-4\times 25\times 2470}}{2\times 25}$$

-4 と 25 を乗算します。

$$t=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{250000-100\times 2470}}{2\times 25}$$

-100 と 2470 を乗算します。

$$t=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{250000-247000}}{2\times 25}$$

250000 を -247000 に加算します。

$$t=\frac{-\left(-500\right)±\sqrt{3000}}{2\times 25}$$

3000 の平方根をとります。

$$t=\frac{-\left(-500\right)±10\sqrt{30}}{2\times 25}$$

-500 の反数は 500 です。

$$t=\frac{500±10\sqrt{30}}{2\times 25}$$

2 と 25 を乗算します。

$$t=\frac{500±10\sqrt{30}}{50}$$

± が正の時の方程式 t=\frac{500±10\sqrt{30}}{50} の解を求めます。 500 を 10\sqrt{30} に加算します。

$$t=\frac{10\sqrt{30}+500}{50}$$

500+10\sqrt{30} を 50 で除算します。

$$t=\frac{\sqrt{30}}{5}+10$$

± が負の時の方程式 t=\frac{500±10\sqrt{30}}{50} の解を求めます。 500 から 10\sqrt{30} を減算します。

$$t=\frac{500-10\sqrt{30}}{50}$$

500-10\sqrt{30} を 50 で除算します。

$$t=-\frac{\sqrt{30}}{5}+10$$

方程式が解けました。

$$t=\frac{\sqrt{30}}{5}+10 t=-\frac{\sqrt{30}}{5}+10$$

完全平方にする手順

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(40-4t\right)^{2} を展開します。

$$1600-320t+16t^{2}+\left(30-3t\right)^{2}=30$$

二項定理の \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} を使用して \left(30-3t\right)^{2} を展開します。

$$1600-320t+16t^{2}+900-180t+9t^{2}=30$$

1600 と 900 を加算して 2500 を求めます。

$$2500-320t+16t^{2}-180t+9t^{2}=30$$

-320t と -180t をまとめて -500t を求めます。

$$2500-500t+16t^{2}+9t^{2}=30$$

16t^{2} と 9t^{2} をまとめて 25t^{2} を求めます。

$$2500-500t+25t^{2}=30$$

両辺から 2500 を減算します。

$$-500t+25t^{2}=30-2500$$

30 から 2500 を減算して -2470 を求めます。

$$-500t+25t^{2}=-2470$$

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$25t^{2}-500t=-2470$$

両辺を 25 で除算します。

$$\frac{25t^{2}-500t}{25}=-\frac{2470}{25}$$

25 で除算すると、25 での乗算を元に戻します。

$$t^{2}+\left(-\frac{500}{25}\right)t=-\frac{2470}{25}$$

-500 を 25 で除算します。

$$t^{2}-20t=-\frac{2470}{25}$$

5 を開いて消去して、分数 \frac{-2470}{25} を約分します。

$$t^{2}-20t=-\frac{494}{5}$$

-20 (x 項の係数) を 2 で除算して -10 を求めます。次に、方程式の両辺に -10 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$t^{2}-20t+\left(-10\right)^{2}=-\frac{494}{5}+\left(-10\right)^{2}$$

-10 を 2 乗します。

$$t^{2}-20t+100=-\frac{494}{5}+100$$

-\frac{494}{5} を 100 に加算します。

$$t^{2}-20t+100=\frac{6}{5}$$

因数t^{2}-20t+100。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(t-10\right)^{2}=\frac{6}{5}$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(t-10\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6}{5}}$$

簡約化します。

$$t-10=\frac{\sqrt{30}}{5} t-10=-\frac{\sqrt{30}}{5}$$

方程式の両辺に 10 を加算します。

$$t=\frac{\sqrt{30}}{5}+10 t=-\frac{\sqrt{30}}{5}+10$$