(3+r)^2+(15+r)^2=18^2 を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

r を解く

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

二次方程式の解の公式を使用する手順

二項定理の \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} を使用して \left(3+r\right)^{2} を展開します。

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

二項定理の \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} を使用して \left(15+r\right)^{2} を展開します。

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9 と 225 を加算して 234 を求めます。

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

6r と 30r をまとめて 36r を求めます。

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

r^{2} と r^{2} をまとめて 2r^{2} を求めます。

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

18 の 2 乗を計算して 324 を求めます。

$$234+36r+2r^{2}=324$$

両辺から 324 を減算します。

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

234 から 324 を減算して -90 を求めます。

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 の形式のすべての方程式の解は、二次方程式の解の公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} を使用して求めることができます。二次方程式の解の公式では、2 つの解 (± が加算の場合と減算の場合) が得られます。

$$2r^{2}+36r-90=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 2 を代入し、b に 36 を代入し、c に -90 を代入します。

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

36 を 2 乗します。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4 と 2 を乗算します。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8 と -90 を乗算します。

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

1296 を 720 に加算します。

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

2016 の平方根をとります。

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

2 と 2 を乗算します。

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

± が正の時の方程式 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} の解を求めます。 -36 を 12\sqrt{14} に加算します。

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36+12\sqrt{14} を 4 で除算します。

$$r=3\sqrt{14}-9$$

± が負の時の方程式 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} の解を求めます。 -36 から 12\sqrt{14} を減算します。

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36-12\sqrt{14} を 4 で除算します。

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

方程式が解けました。

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

完全平方にする手順

二項定理の \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} を使用して \left(3+r\right)^{2} を展開します。

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

二項定理の \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} を使用して \left(15+r\right)^{2} を展開します。

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9 と 225 を加算して 234 を求めます。

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

6r と 30r をまとめて 36r を求めます。

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

r^{2} と r^{2} をまとめて 2r^{2} を求めます。

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

18 の 2 乗を計算して 324 を求めます。

$$234+36r+2r^{2}=324$$

両辺から 234 を減算します。

$$36r+2r^{2}=324-234$$

324 から 234 を減算して 90 を求めます。

$$36r+2r^{2}=90$$

このような二次方程式は、平方完成により解くことができます。平方完成するには、方程式は最初に x^{2}+bx=c の形式になっている必要があります。

$$2r^{2}+36r=90$$

両辺を 2 で除算します。

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

2 で除算すると、2 での乗算を元に戻します。

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

36 を 2 で除算します。

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

90 を 2 で除算します。

$$r^{2}+18r=45$$

18 (x 項の係数) を 2 で除算して 9 を求めます。次に、方程式の両辺に 9 の平方を加算します。この手順により、方程式の左辺が完全平方になります。

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

9 を 2 乗します。

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

45 を 81 に加算します。

$$r^{2}+18r+81=126$$

因数r^{2}+18r+81。一般に、x^{2}+bx+cが完全な平方である場合、常に\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}として因数分解できます。

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

方程式の両辺の平方根をとります。

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

簡約化します。

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

方程式の両辺から 9 を減算します。

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$