{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x,y を解く

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

代入と二次方程式の解の公式を使用する手順

最初の方程式を考えなさい。 方程式の両辺を 12 (4,3 の最小公倍数) で乗算します。

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

2 番目の方程式を考えなさい。 分配則を使用して k と x+1 を乗算します。

$$y=kx+k$$

他の方程式、3x^{2}+4y^{2}=12 の y に kx+k を代入します。

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k を 2 乗します。

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 と k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} を乗算します。

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2} を 4k^{2}x^{2} に加算します。

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

方程式の両辺から 12 を減算します。

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

この方程式は標準形 ax^{2}+bx+c=0 です\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} で a に 3+4k^{2} を代入し、b に 4\times 2kk を代入し、c に 4k^{2}-12 を代入します。

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk を 2 乗します。

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 と 3+4k^{2} を乗算します。

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} と 4k^{2}-12 を乗算します。

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4} を 144+144k^{2}-64k^{4} に加算します。

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 の平方根をとります。

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 と 3+4k^{2} を乗算します。

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

± が正の時の方程式 x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} の解を求めます。 -8k^{2} を 12\sqrt{k^{2}+1} に加算します。

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} を 6+8k^{2} で除算します。

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

± が負の時の方程式 x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} の解を求めます。 -8k^{2} から 12\sqrt{k^{2}+1} を減算します。

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} を 6+8k^{2} で除算します。

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x には 2 つの解、\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} と -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} があります。\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} を方程式 y=kx+k の x に代入して、両方の方程式を満たす y に対応する解を求めます。

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k と \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} を乗算します。

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

方程式 y=kx+k の x に -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} を代入して、両方の方程式を満たす y の対応する解を求めます。

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k と -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} を乗算します。

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

連立方程式は解決しました。

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x,y を解く (複素数の解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$