∫ (from 4 to 8) of (x^2-12x+32) wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 4 } ^ { 8 } ( x ^ { 2 } - 12 x + 32 ) d x$$

計算

$$-\frac{32}{3}\approx -10.666666667$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int x^{2}-12x+32\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -12x\mathrm{d}x+\int 32\mathrm{d}x$$

各項の定数を因数分解します。

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-12\int x\mathrm{d}x+\int 32\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{2}\mathrm{d}x を \frac{x^{3}}{3} に置き換えます。

$$\frac{x^{3}}{3}-12\int x\mathrm{d}x+\int 32\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。 -12 と \frac{x^{2}}{2} を乗算します。

$$\frac{x^{3}}{3}-6x^{2}+\int 32\mathrm{d}x$$

一般的な積分ルール \int a\mathrm{d}x=ax の表を使用して、32 の積分を見つけます。

$$\frac{x^{3}}{3}-6x^{2}+32x$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{8^{3}}{3}-6\times 8^{2}+32\times 8-\left(\frac{4^{3}}{3}-6\times 4^{2}+32\times 4\right)$$

簡約化します。

$$-\frac{32}{3}$$