∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt= を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

計算

$$-540$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

項別に合計を積分します。

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

各項の定数を因数分解します。

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

k\neq -1 は \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} なので、\int t^{3}\mathrm{d}t を \frac{t^{4}}{4} に置き換えます。 15 と \frac{t^{4}}{4} を乗算します。

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

k\neq -1 は \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} なので、\int t^{2}\mathrm{d}t を \frac{t^{3}}{3} に置き換えます。 -135 と \frac{t^{3}}{3} を乗算します。

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

k\neq -1 は \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} なので、\int t\mathrm{d}t を \frac{t^{2}}{2} に置き換えます。 225 と \frac{t^{2}}{2} を乗算します。

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

簡約化します。

$$-540$$