∫ (from 1 to 2) of (x+sqrt[3]{x}+1/x^2) wrt x を解きます| Microsoft 数学ソルバー

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x + \sqrt[ 3 ] { x } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) d x$$

計算

$$\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{5}{4}\approx 3.139881575$$

解の手順

最初に不定積分を評価します。

$$\int x+\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

項別に合計を積分します。

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x\mathrm{d}x を \frac{x^{2}}{2} に置き換えます。

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt[3]{x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

\sqrt[3]{x} を x^{\frac{1}{3}} に書き換えます。 k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int x^{\frac{1}{3}}\mathrm{d}x を \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} に置き換えます。 簡約化します。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}+\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 は \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} なので、\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x を -\frac{1}{x} に置き換えます。

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{3x^{\frac{4}{3}}}{4}-\frac{1}{x}$$

定積分は、積分の上限において値が求められた式の不定積分から、積分の下限において値が求められた不定積分を減算したものです。

$$\frac{2^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 2^{\frac{4}{3}}-2^{-1}-\left(\frac{1^{2}}{2}+\frac{3}{4}\times 1^{\frac{4}{3}}-1^{-1}\right)$$

簡約化します。

$$\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$$