Risolvi z^2+2z=-3

$$z ^ { 2 } + 2 z = - 3$$

Trova z

$$z=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1,414213562i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z^{2}+2z=-3$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$z^{2}+2z-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$z^{2}+2z-\left(-3\right)=0$$

Sottrai -3 da 0.

$$z^{2}+2z+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 2 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2}$$

Aggiungi 4 a -12.

$$z=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di -8.

$$z=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} quando ± è più. Aggiungi -2 a 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{2}$$

Dividi -2+2i\sqrt{2} per 2.

$$z=-1+\sqrt{2}i$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{2} da -2.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{2}$$

Dividi -2-2i\sqrt{2} per 2.

$$z=-\sqrt{2}i-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=-1+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+2z=-3$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}+2z+1^{2}=-3+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$z^{2}+2z+1=-3+1$$

Aggiungi -3 a 1.

$$z^{2}+2z+1=-2$$

Fattore z^{2}+2z+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=-2$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Semplifica.

$$z+1=\sqrt{2}i z+1=-\sqrt{2}i$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$z=-1+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i-1$$