Risolvi y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Trova y

$$y=2$$

$$y=15$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore y^{2}-17y+30 utilizzando la formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-17 ab=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

La soluzione è la coppia che restituisce -17 come somma.

$$a=-15 b=-2$$

Riscrivi scomposte espressione \left(y+a\right)\left(y+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-15=0 e y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by+30. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

La soluzione è la coppia che restituisce -17 come somma.

$$a=-15 b=-2$$

Riscrivi y^{2}-17y+30 come \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Fattori in y nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Fattorizza il termine comune y-15 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-15=0 e y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -17 a b e 30 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Eleva -17 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Moltiplica -4 per 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Aggiungi 289 a -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

L'opposto di -17 è 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{17±13}{2} quando ± è più. Aggiungi 17 a 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Dividi 30 per 2.

$$y=15$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{17±13}{2} quando ± è meno. Sottrai 13 da 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$y=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=15 y=2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Sottrai 30 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Sottraendo 30 da se stesso rimane 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Dividi -17, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{17}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{17}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{17}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Aggiungi -30 a \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Fattore y^{2}-17y+\frac{289}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Aggiungi \frac{17}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=15 y=2$$