Risolvi x=1+sqrt{7}-6/x

$$x=1+ \sqrt{ 7 } - \frac{ 6 }{ x }$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}\approx 1,822875656+1,636192026i$$

$$x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}\approx 1,822875656-1,636192026i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 1+\sqrt{7} per \frac{x}{x}.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x}-\frac{6}{x}$$

Poiché \frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x} e \frac{6}{x} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x-6}{x}$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(1+\sqrt{7}\right)x-6.

$$x=\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}$$

Sottrai \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} da entrambi i lati.

$$x-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica x per \frac{x}{x}.

$$\frac{xx}{x}-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Poiché \frac{xx}{x} e \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right)}{x}=0$$

Esegui le moltiplicazioni in xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right).

$$\frac{x^{2}-x-\sqrt{7}x+6}{x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$x^{2}-x-\sqrt{7}x+6=0$$

Combina tutti i termini contenenti x.

$$x^{2}+\left(-1-\sqrt{7}\right)x+6=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -1-\sqrt{7} a b e 6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{7}-1\right)^{2}-4\times 6}}{2}$$

Eleva -1-\sqrt{7} al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{2\sqrt{7}+8-4\times 6}}{2}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{2\sqrt{7}+8-24}}{2}$$

Aggiungi 8+2\sqrt{7} a -24.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{2\sqrt{7}-16}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di -16+2\sqrt{7}.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

L'opposto di -1-\sqrt{7} è 1+\sqrt{7}.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{\sqrt{7}+1±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} quando ± è più. Aggiungi 1+\sqrt{7} a i\sqrt{16-2\sqrt{7}}.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{\sqrt{7}+1±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{16-2\sqrt{7}} da 1+\sqrt{7}.

$$x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 1+\sqrt{7} per \frac{x}{x}.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x}-\frac{6}{x}$$

Poiché \frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x} e \frac{6}{x} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x-6}{x}$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(1+\sqrt{7}\right)x-6.

$$x=\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}$$

Sottrai \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} da entrambi i lati.

$$x-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica x per \frac{x}{x}.

$$\frac{xx}{x}-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Poiché \frac{xx}{x} e \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right)}{x}=0$$

Esegui le moltiplicazioni in xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right).

$$\frac{x^{2}-x-\sqrt{7}x+6}{x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x.

$$x^{2}-x-\sqrt{7}x+6=0$$

Sottrai 6 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x^{2}-x-\sqrt{7}x=-6$$

Combina tutti i termini contenenti x.

$$x^{2}+\left(-1-\sqrt{7}\right)x=-6$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x=-6$$

Dividi -1-\sqrt{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{-1-\sqrt{7}}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{-1-\sqrt{7}}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\left(\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{-1-\sqrt{7}}{2} al quadrato.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\frac{\sqrt{7}}{2}+2=-6+\frac{\sqrt{7}}{2}+2$$

Aggiungi -6 a 2+\frac{\sqrt{7}}{2}.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\frac{\sqrt{7}}{2}+2=\frac{\sqrt{7}}{2}-4$$

Fattore x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\frac{\sqrt{7}}{2}+2. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}-4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{7}}{2}-4}$$

Semplifica.

$$x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}=\frac{i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}=-\frac{i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

Sottrai \frac{-1-\sqrt{7}}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}$$