Risolvi x+3x^2=520

$$x+3 { x }^{ 2 } =520$$

Trova x

$$x = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3} \approx -13,333333333$$

$$x=13$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 520 da entrambi i lati.

$$x+3x^{2}-520=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$3x^{2}+x-520=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-520. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=3\left(-520\right)=-1560$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1560.

$$-1,1560 -2,780 -3,520 -4,390 -5,312 -6,260 -8,195 -10,156 -12,130 -13,120 -15,104 -20,78 -24,65 -26,60 -30,52 -39,40$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+1560=1559 -2+780=778 -3+520=517 -4+390=386 -5+312=307 -6+260=254 -8+195=187 -10+156=146 -12+130=118 -13+120=107 -15+104=89 -20+78=58 -24+65=41 -26+60=34 -30+52=22 -39+40=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-39 b=40$$

Riscrivi 3x^{2}+x-520 come \left(3x^{2}-39x\right)+\left(40x-520\right).

$$\left(3x^{2}-39x\right)+\left(40x-520\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 40 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-13\right)+40\left(x-13\right)$$

Fattorizza il termine comune x-13 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(3x+40\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-13=0 e 3x+40=0.

$$x=13 x=-\frac{40}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$3x^{2}+x=520$$

Sottrai 520 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x^{2}+x-520=520-520$$

Sottraendo 520 da se stesso rimane 0.

$$3x^{2}+x-520=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 1 a b e -520 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-520\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-520\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-520\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -520.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+6240}}{2\times 3}$$

Aggiungi 1 a 6240.

$$x=\frac{-1±\sqrt{6241}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 6241.

$$x=\frac{-1±79}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-1±79}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±79}{6} quando ± è più. Aggiungi -1 a 79.

$$x=\frac{78}{6}$$

Dividi 78 per 6.

$$x=13$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±79}{6} quando ± è meno. Sottrai 79 da -1.

$$x=-\frac{80}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-80}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{40}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=13 x=-\frac{40}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x=520$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{520}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{520}{3}$$

Dividi \frac{1}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{520}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{520}{3}+\frac{1}{36}$$

Aggiungi \frac{520}{3} a \frac{1}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{6241}{36}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{6241}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6241}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{79}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{79}{6}$$

Sottrai \frac{1}{6} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=13 x=-\frac{40}{3}$$