Risolvi x^2-x-240=0

$$x ^ { 2 } - x - 240 = 0$$

Trova x

$$x=-15$$

$$x=16$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-x-240 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-16 b=15$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-16\right)\left(x+15\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-16=0 e x+15=0.

$$x=16 x=-15$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-240. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-16 b=15$$

Riscrivi x^{2}-x-240 come \left(x^{2}-16x\right)+\left(15x-240\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(15x-240\right)$$

Fattori in x nel primo e 15 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-16\right)+15\left(x-16\right)$$

Fattorizza il termine comune x-16 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-16\right)\left(x+15\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-16=0 e x+15=0.

$$x=16 x=-15$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-x-240=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -1 a b e -240 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -240.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Aggiungi 1 a 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±31}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±31}{2} quando ± è più. Aggiungi 1 a 31.

$$x=\frac{32}{2}$$

Dividi 32 per 2.

$$x=16$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±31}{2} quando ± è meno. Sottrai 31 da 1.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Dividi -30 per 2.

$$x=-15$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=16 x=-15$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-240=0$$

Aggiungi 240 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-x-240-\left(-240\right)=-\left(-240\right)$$

Sottraendo -240 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-x=-\left(-240\right)$$

Sottrai -240 da 0.

$$x^{2}-x=240$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 240 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=16 x=-15$$