Risolvi x^2-15x-9=0

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -15 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Aggiungi 225 a 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 261.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} quando ± è più. Aggiungi 15 a 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} quando ± è meno. Sottrai 3\sqrt{29} da 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Sottraendo -9 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Sottrai -9 da 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Dividi -15, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Aggiungi 9 a \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Fattore x^{2}-15x+\frac{225}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Aggiungi \frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$