Risolvi x^2+x-342=0

$$x ^ { 2 } + x - 342 = 0$$

Trova x

$$x=-19$$

$$x=18$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+x-342 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-342$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -342.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-18 b=19$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-18=0 e x+19=0.

$$x=18 x=-19$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-342. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-342\right)=-342$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -342.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-18 b=19$$

Riscrivi x^{2}+x-342 come \left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right).

$$\left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right)$$

Fattori in x nel primo e 19 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-18\right)+19\left(x-18\right)$$

Fattorizza il termine comune x-18 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-18=0 e x+19=0.

$$x=18 x=-19$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+x-342=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 1 a b e -342 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-342\right)}}{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-342\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -342.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+1368}}{2}$$

Aggiungi 1 a 1368.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1369}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1369.

$$x=\frac{-1±37}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±37}{2} quando ± è più. Aggiungi -1 a 37.

$$x=\frac{36}{2}$$

Dividi 36 per 2.

$$x=18$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±37}{2} quando ± è meno. Sottrai 37 da -1.

$$x=-\frac{38}{2}$$

Dividi -38 per 2.

$$x=-19$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=18 x=-19$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-342=0$$

Aggiungi 342 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+x-342-\left(-342\right)=-\left(-342\right)$$

Sottraendo -342 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+x=-\left(-342\right)$$

Sottrai -342 da 0.

$$x^{2}+x=342$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=342+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=342+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 342 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1369}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1369}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{37}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{37}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=18 x=-19$$