Risolvi x^2+6x-40=0

$$x ^ { 2 } + 6 x - 40 = 0$$

Trova x

$$x=-10$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+6x-40 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=-40$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=-4 b=10$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-4\right)\left(x+10\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x+10=0.

$$x=4 x=-10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-40. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=1\left(-40\right)=-40$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=-4 b=10$$

Riscrivi x^{2}+6x-40 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(10x-40\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(10x-40\right)$$

Fattori in x nel primo e 10 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-4\right)+10\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+10\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x+10=0.

$$x=4 x=-10$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+6x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 6 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-40\right)}}{2}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-40\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -40.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2}$$

Aggiungi 36 a 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-6±14}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±14}{2} quando ± è più. Aggiungi -6 a 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Dividi 8 per 2.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±14}{2} quando ± è meno. Sottrai 14 da -6.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Dividi -20 per 2.

$$x=-10$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-10$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+6x-40=0$$

Aggiungi 40 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+6x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Sottraendo -40 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+6x=-\left(-40\right)$$

Sottrai -40 da 0.

$$x^{2}+6x=40$$

Dividi 6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 3. Quindi aggiungi il quadrato di 3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+6x+3^{2}=40+3^{2}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x^{2}+6x+9=40+9$$

Aggiungi 40 a 9.

$$x^{2}+6x+9=49$$

Fattore x^{2}+6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=49$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Semplifica.

$$x+3=7 x+3=-7$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-10$$