Risolvi x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Trova x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+31x-360 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=31 ab=-360$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 31 come somma.

$$a=-9 b=40$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-360. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 31 come somma.

$$a=-9 b=40$$

Riscrivi x^{2}+31x-360 come \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Fattori in x nel primo e 40 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-9=0 e x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 31 a b e -360 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Eleva 31 al quadrato.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Aggiungi 961 a 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-31±49}{2} quando ± è più. Aggiungi -31 a 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Dividi 18 per 2.

$$x=9$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-31±49}{2} quando ± è meno. Sottrai 49 da -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Dividi -80 per 2.

$$x=-40$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=9 x=-40$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Aggiungi 360 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Sottraendo -360 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Sottrai -360 da 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Dividi 31, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{31}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{31}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{31}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Aggiungi 360 a \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Fattore x^{2}+31x+\frac{961}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Sottrai \frac{31}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=9 x=-40$$