Risolvi r^2+r=12

$$r ^ { 2 } + r = 12$$

Trova r

$$r=-4$$

$$r=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$r^{2}+r-12=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore r^{2}+r-12 utilizzando la formula r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-3 b=4$$

Riscrivi scomposte espressione \left(r+a\right)\left(r+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(r-3\right)\left(r+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere r-3=0 e r+4=0.

$$r=3 r=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$r^{2}+r-12=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come r^{2}+ar+br-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-3 b=4$$

Riscrivi r^{2}+r-12 come \left(r^{2}-3r\right)+\left(4r-12\right).

$$\left(r^{2}-3r\right)+\left(4r-12\right)$$

Fattori in r nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$r\left(r-3\right)+4\left(r-3\right)$$

Fattorizza il termine comune r-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(r-3\right)\left(r+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere r-3=0 e r+4=0.

$$r=3 r=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$r^{2}+r=12$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$r^{2}+r-12=12-12$$

Sottraendo 12 da se stesso rimane 0.

$$r^{2}+r-12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 1 a b e -12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-12\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -12.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2}$$

Aggiungi 1 a 48.

$$r=\frac{-1±\sqrt{49}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$r=\frac{-1±7}{2}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-1±7}{2} quando ± è più. Aggiungi -1 a 7.

$$r=\frac{6}{2}$$

Dividi 6 per 2.

$$r=3$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-1±7}{2} quando ± è meno. Sottrai 7 da -1.

$$r=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$r=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=3 r=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$r^{2}+r=12$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}+r+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$r^{2}+r+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 12 a \frac{1}{4}.

$$r^{2}+r+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore r^{2}+r+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$r+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} r+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$r=3 r=-4$$