Risolvi p^-2+11p^-1-12=0

$$p ^ { - 2 } + 11 p ^ { - 1 } - 12 = 0$$

Trova p

$$p=1$$

$$p=-\frac{1}{12}\approx -0,083333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Riordina i termini.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

La variabile p non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per p.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e -2 per ottenere -1.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

Moltiplica 11 e 1 per ottenere 11.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

Riordina i termini.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

La variabile p non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per p.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

Moltiplica p e p per ottenere p^{2}.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -12p^{2}+ap+bp+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=12 b=-1$$

Riscrivi -12p^{2}+11p+1 come \left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right).

$$\left(-12p^{2}+12p\right)+\left(-p+1\right)$$

Scomponi 12p in -12p^{2}+12p.

$$12p\left(-p+1\right)-p+1$$

Fattorizza il termine comune -p+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-p+1\right)\left(12p+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -p+1=0 e 12p+1=0.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Riordina i termini.

$$-12+11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=0$$

La variabile p non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per p.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+pp^{-2}=0$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e -2 per ottenere -1.

$$p\left(-12\right)+11\times 1+p^{-1}=0$$

Moltiplica 11 e 1 per ottenere 11.

$$p\left(-12\right)+11+p^{-1}=0$$

Riordina i termini.

$$-12p+11+\frac{1}{p}=0$$

La variabile p non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per p.

$$-12pp+p\times 11+1=0$$

Moltiplica p e p per ottenere p^{2}.

$$-12p^{2}+p\times 11+1=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-12p^{2}+11p+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -12 a a, 11 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-12\right)}}{2\left(-12\right)}$$

Moltiplica -4 per -12.

$$p=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-12\right)}$$

Aggiungi 121 a 48.

$$p=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-12\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$p=\frac{-11±13}{2\left(-12\right)}$$

Moltiplica 2 per -12.

$$p=\frac{-11±13}{-24}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-11±13}{-24} quando ± è più. Aggiungi -11 a 13.

$$p=\frac{2}{-24}$$

Riduci la frazione \frac{2}{-24} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$p=-\frac{1}{12}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-11±13}{-24} quando ± è meno. Sottrai 13 da -11.

$$p=-\frac{24}{-24}$$

Dividi -24 per -24.

$$p=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$p=-\frac{1}{12} p=1$$

Procedura per completare il quadrato

Aggiungi 12 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$p^{-2}+11p^{-1}=12$$

Riordina i termini.

$$11\times \frac{1}{p}+p^{-2}=12$$

La variabile p non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per p.

$$11\times 1+pp^{-2}=12p$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 1 e -2 per ottenere -1.

$$11\times 1+p^{-1}=12p$$

Moltiplica 11 e 1 per ottenere 11.

$$11+p^{-1}=12p$$

Sottrai 12p da entrambi i lati.

$$11+p^{-1}-12p=0$$

Sottrai 11 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$p^{-1}-12p=-11$$

Riordina i termini.

$$-12p+\frac{1}{p}=-11$$

La variabile p non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per p.

$$-12pp+1=-11p$$

Moltiplica p e p per ottenere p^{2}.

$$-12p^{2}+1=-11p$$

Aggiungi 11p a entrambi i lati.

$$-12p^{2}+1+11p=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-12p^{2}+11p=-1$$

Dividi entrambi i lati per -12.

$$\frac{-12p^{2}+11p}{-12}=-\frac{1}{-12}$$

La divisione per -12 annulla la moltiplicazione per -12.

$$p^{2}+\frac{11}{-12}p=-\frac{1}{-12}$$

Dividi 11 per -12.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=-\frac{1}{-12}$$

Dividi -1 per -12.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p=\frac{1}{12}$$

Dividi -\frac{11}{12}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{24}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{24} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{1}{12}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{24} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{1}{12}+\frac{121}{576}$$

Aggiungi \frac{1}{12} a \frac{121}{576} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}=\frac{169}{576}$$

Fattore p^{2}-\frac{11}{12}p+\frac{121}{576}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(p-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Semplifica.

$$p-\frac{11}{24}=\frac{13}{24} p-\frac{11}{24}=-\frac{13}{24}$$

Aggiungi \frac{11}{24} a entrambi i lati dell'equazione.

$$p=1 p=-\frac{1}{12}$$