Risolvi f(x)=2x^2+x=1

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x = 1$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-1 b=2$$

Riscrivi 2x^{2}+x-1 come \left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(2x-1\right)$$

Scomponi x in 2x^{2}-x.

$$x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+x=1$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+x-1=1-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 1 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a 8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-1±3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±3}{4} quando ± è più. Aggiungi -1 a 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±3}{4} quando ± è meno. Sottrai 3 da -1.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x=1$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{1}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$