Risolvi a^2+(7-a)^2=169

$$a ^ { 2 } + ( 7 - a ) ^ { 2 } = 169$$

Trova a

$$a=-5$$

$$a=12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Combina a^{2} e a^{2} per ottenere 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Sottrai 169 da entrambi i lati.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Sottrai 169 da 49 per ottenere -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$a^{2}-60-7a=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$a^{2}-7a-60=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come a^{2}+aa+ba-60. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-12 b=5$$

Riscrivi a^{2}-7a-60 come \left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right).

$$\left(a^{2}-12a\right)+\left(5a-60\right)$$

Fattori in a nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$a\left(a-12\right)+5\left(a-12\right)$$

Fattorizza il termine comune a-12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(a-12\right)\left(a+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere a-12=0 e a+5=0.

$$a=12 a=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Combina a^{2} e a^{2} per ottenere 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Sottrai 169 da entrambi i lati.

$$2a^{2}+49-14a-169=0$$

Sottrai 169 da 49 per ottenere -120.

$$2a^{2}-120-14a=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2a^{2}-14a-120=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -14 a b e -120 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-120\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -120.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+960}}{2\times 2}$$

Aggiungi 196 a 960.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{1156}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 1156.

$$a=\frac{-\left(-14\right)±34}{2\times 2}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$a=\frac{14±34}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$a=\frac{14±34}{4}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{14±34}{4} quando ± è più. Aggiungi 14 a 34.

$$a=\frac{48}{4}$$

Dividi 48 per 4.

$$a=12$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{14±34}{4} quando ± è meno. Sottrai 34 da 14.

$$a=-\frac{20}{4}$$

Dividi -20 per 4.

$$a=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$a=12 a=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(7-a\right)^{2}.

$$a^{2}+49-14a+a^{2}=169$$

Combina a^{2} e a^{2} per ottenere 2a^{2}.

$$2a^{2}+49-14a=169$$

Sottrai 49 da entrambi i lati.

$$2a^{2}-14a=169-49$$

Sottrai 49 da 169 per ottenere 120.

$$2a^{2}-14a=120$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2a^{2}-14a}{2}=\frac{120}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$a^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)a=\frac{120}{2}$$

Dividi -14 per 2.

$$a^{2}-7a=\frac{120}{2}$$

Dividi 120 per 2.

$$a^{2}-7a=60$$

Dividi -7, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$a^{2}-7a+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

Aggiungi 60 a \frac{49}{4}.

$$a^{2}-7a+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

Fattore a^{2}-7a+\frac{49}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(a-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Semplifica.

$$a-\frac{7}{2}=\frac{17}{2} a-\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

Aggiungi \frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$a=12 a=-5$$