Risolvi 9x^2+7x=2

$$9 x ^ { 2 } + 7 x = 2$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{9}\approx 0,222222222$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 9x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=9\left(-2\right)=-18$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=-2 b=9$$

Riscrivi 9x^{2}+7x-2 come \left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right).

$$\left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right)$$

Scomponi x in 9x^{2}-2x.

$$x\left(9x-2\right)+9x-2$$

Fattorizza il termine comune 9x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(9x-2\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 9x-2=0 e x+1=0.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}+7x=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}+7x-2=2-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 7 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 9}$$

Aggiungi 49 a 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{-7±11}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±11}{18} quando ± è più. Aggiungi -7 a 11.

$$x=\frac{4}{18}$$

Riduci la frazione \frac{4}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{2}{9}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±11}{18} quando ± è meno. Sottrai 11 da -7.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Dividi -18 per 18.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x=2$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{2}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{2}{9}$$

Dividi \frac{7}{9}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{18}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{18} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{18} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{2}{9}+\frac{49}{324}$$

Aggiungi \frac{2}{9} a \frac{49}{324} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{121}{324}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{121}{324}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{324}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{11}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{11}{18}$$

Sottrai \frac{7}{18} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$