Risolvi 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Trova x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 9x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-6 b=-6$$

Riscrivi 9x^{2}-12x+4 come \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -12 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Aggiungi 144 a -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Riduci la frazione \frac{12}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Aggiungi -\frac{4}{9} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=\frac{2}{3}$$