Risolvi 8x^2-12x-11=0

$$8 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 3}{4} \approx 2,141941091$$

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}\approx -0,641941091$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, -12 a b e -11 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-11\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+352}}{2\times 8}$$

Aggiungi 144 a 352.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{496}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 496.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} quando ± è più. Aggiungi 12 a 4\sqrt{31}.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+12}{16}$$

Dividi 12+4\sqrt{31} per 16.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±4\sqrt{31}}{16} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{31} da 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{31}}{16}$$

Dividi 12-4\sqrt{31} per 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x-11=0$$

Aggiungi 11 a entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Sottraendo -11 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

Sottrai -11 da 0.

$$8x^{2}-12x=11$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{11}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{11}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{11}{8}$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{11}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{11}{8}+\frac{9}{16}$$

Aggiungi \frac{11}{8} a \frac{9}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{31}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{31}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{31}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{31}}{4}$$