Risolvi 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Trova x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 21 da entrambi i lati.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx-21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-12 b=14$$

Riscrivi 8x^{2}+2x-21 come \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-3=0 e 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}+2x=21$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Sottraendo 21 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 2 a b e -21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Aggiungi 4 a 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±26}{16} quando ± è più. Aggiungi -2 a 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Riduci la frazione \frac{24}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±26}{16} quando ± è meno. Sottrai 26 da -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-28}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Riduci la frazione \frac{2}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Dividi \frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Aggiungi \frac{21}{8} a \frac{1}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Sottrai \frac{1}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$