Risolvi 8x^2=30x+27

$$8 { x }^{ 2 } =30x+27$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 30x da entrambi i lati.

$$8x^{2}-30x=27$$

Sottrai 27 da entrambi i lati.

$$8x^{2}-30x-27=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx-27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-30 ab=8\left(-27\right)=-216$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -30 come somma.

$$a=-36 b=6$$

Riscrivi 8x^{2}-30x-27 come \left(8x^{2}-36x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(8x^{2}-36x\right)+\left(6x-27\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(4x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-9=0 e 4x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 30x da entrambi i lati.

$$8x^{2}-30x=27$$

Sottrai 27 da entrambi i lati.

$$8x^{2}-30x-27=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, -30 a b e -27 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Eleva -30 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\left(-27\right)}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per -27.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900+864}}{2\times 8}$$

Aggiungi 900 a 864.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{1764}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 1764.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±42}{2\times 8}$$

L'opposto di -30 è 30.

$$x=\frac{30±42}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{30±42}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{30±42}{16} quando ± è più. Aggiungi 30 a 42.

$$x=\frac{72}{16}$$

Riduci la frazione \frac{72}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{30±42}{16} quando ± è meno. Sottrai 42 da 30.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 30x da entrambi i lati.

$$8x^{2}-30x=27$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=\frac{27}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=\frac{27}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=\frac{27}{8}$$

Dividi -\frac{15}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{27}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{27}{8}+\frac{225}{64}$$

Aggiungi \frac{27}{8} a \frac{225}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{441}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{21}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{21}{8}$$

Aggiungi \frac{15}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{4}$$