Risolvi 7x^2-36x+5=0

$$7 x ^ { 2 } - 36 x + 5 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-36 ab=7\times 5=35$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 35.

$$-1,-35 -5,-7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

La soluzione è la coppia che restituisce -36 come somma.

$$a=-35 b=-1$$

Riscrivi 7x^{2}-36x+5 come \left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right)$$

Fattori in 7x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$7x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(7x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e 7x-1=0.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, -36 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Eleva -36 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-28\times 5}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per 5.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-140}}{2\times 7}$$

Aggiungi 1296 a -140.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1156}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 1156.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±34}{2\times 7}$$

L'opposto di -36 è 36.

$$x=\frac{36±34}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$x=\frac{36±34}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{36±34}{14} quando ± è più. Aggiungi 36 a 34.

$$x=\frac{70}{14}$$

Dividi 70 per 14.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{36±34}{14} quando ± è meno. Sottrai 34 da 36.

$$x=\frac{2}{14}$$

Riduci la frazione \frac{2}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$7x^{2}-36x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$7x^{2}-36x=-5$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7x^{2}-36x}{7}=-\frac{5}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Dividi -\frac{36}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{18}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{18}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{18}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=-\frac{5}{7}+\frac{324}{49}$$

Aggiungi -\frac{5}{7} a \frac{324}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=\frac{289}{49}$$

Fattore x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}=\frac{289}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{49}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{18}{7}=\frac{17}{7} x-\frac{18}{7}=-\frac{17}{7}$$

Aggiungi \frac{18}{7} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$