Risolvi 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7x^{2}+ax+bx-78. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-21 b=26$$

Riscrivi 7x^{2}+5x-78 come \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Fattori in 7x nel primo e 26 nel secondo gruppo.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, 5 a b e -78 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Aggiungi 25 a 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±47}{14} quando ± è più. Aggiungi -5 a 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Dividi 42 per 14.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±47}{14} quando ± è meno. Sottrai 47 da -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Riduci la frazione \frac{-52}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Aggiungi 78 a entrambi i lati dell'equazione.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Sottraendo -78 da se stesso rimane 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Sottrai -78 da 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Dividi \frac{5}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{14}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{14} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{14} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Aggiungi \frac{78}{7} a \frac{25}{196} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Sottrai \frac{5}{14} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$