Risolvi 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Trova t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, -32 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Eleva -32 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Aggiungi 1024 a -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

L'opposto di -32 è 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} quando ± è più. Aggiungi 32 a 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Dividi 32+4\sqrt{43} per 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{43} da 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Dividi 32-4\sqrt{43} per 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Sottraendo 12 da se stesso rimane 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Dividi -\frac{32}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{16}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{16}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{16}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Aggiungi -\frac{12}{7} a \frac{256}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Fattore t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Aggiungi \frac{16}{7} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$