Risolvi 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Trova n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7n^{2}+an+bn-18. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 39 come somma.

$$a=-3 b=42$$

Riscrivi 7n^{2}+39n-18 come \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

Fattori in n nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 7n-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 7n-3=0 e n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, 39 a b e -18 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Eleva 39 al quadrato.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Aggiungi 1521 a 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-39±45}{14} quando ± è più. Aggiungi -39 a 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Riduci la frazione \frac{6}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-39±45}{14} quando ± è meno. Sottrai 45 da -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Dividi -84 per 14.

$$n=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Aggiungi 18 a entrambi i lati dell'equazione.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Sottraendo -18 da se stesso rimane 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Sottrai -18 da 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Dividi \frac{39}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{39}{14}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{39}{14} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Eleva \frac{39}{14} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Aggiungi \frac{18}{7} a \frac{1521}{196} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Fattore n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Sottrai \frac{39}{14} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$