Risolvi 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Trova n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$5n+4n^{2}=636$$

Sottrai 636 da entrambi i lati.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4n^{2}+an+bn-636. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-48 b=53$$

Riscrivi 4n^{2}+5n-636 come \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Fattori in 4n nel primo e 53 nel secondo gruppo.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Fattorizza il termine comune n-12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-12=0 e 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$5n+4n^{2}=636$$

Sottrai 636 da entrambi i lati.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 5 a b e -636 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Aggiungi 25 a 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-5±101}{8} quando ± è più. Aggiungi -5 a 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Dividi 96 per 8.

$$n=12$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-5±101}{8} quando ± è meno. Sottrai 101 da -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-106}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$5n+4n^{2}=636$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Dividi 636 per 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Dividi \frac{5}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Aggiungi 159 a \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Fattore n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Semplifica.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Sottrai \frac{5}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$