Risolvi 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 40 da entrambi i lati.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-40. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-16 b=15$$

Riscrivi 6x^{2}-x-40 come \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-8=0 e 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}-x=40$$

Sottrai 40 da entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Sottraendo 40 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, -1 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Aggiungi 1 a 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±31}{12} quando ± è più. Aggiungi 1 a 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Riduci la frazione \frac{32}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±31}{12} quando ± è meno. Sottrai 31 da 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Riduci la frazione \frac{40}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Dividi -\frac{1}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Aggiungi \frac{20}{3} a \frac{1}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Aggiungi \frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$