Risolvi 6x^2+5x=6

$$6 x ^ { 2 } + 5 x = 6$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-4 b=9$$

Riscrivi 6x^{2}+5x-6 come \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-2=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}+5x=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}+5x-6=6-6$$

Sottraendo 6 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 5 a b e -6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Aggiungi 25 a 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-5±13}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±13}{12} quando ± è più. Aggiungi -5 a 13.

$$x=\frac{8}{12}$$

Riduci la frazione \frac{8}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±13}{12} quando ± è meno. Sottrai 13 da -5.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x=6$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=\frac{6}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Dividi 6 per 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=1$$

Dividi \frac{5}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Aggiungi 1 a \frac{25}{144}.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Sottrai \frac{5}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$