Risolvi 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Trova x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 19 come somma.

$$a=-2 b=21$$

Riscrivi 6x^{2}+19x-7 come \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-1=0 e 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 19 a b e -7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 19 al quadrato.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Aggiungi 361 a 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-19±23}{12} quando ± è più. Aggiungi -19 a 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Riduci la frazione \frac{4}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-19±23}{12} quando ± è meno. Sottrai 23 da -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-42}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Sottrai -7 da 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Dividi \frac{19}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{19}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{19}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{19}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Aggiungi \frac{7}{6} a \frac{361}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Sottrai \frac{19}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$